В документах первое упоминание о Кривой встречается в ведомости Минусинского волостного правления за 1805 год. Население деревни тогда состояло из семи семей, главами которых являлись: Гурковы Матвей, Ефим и Степан, Поляковы Тит, Иван и Гаврило и Шикин Василий.

Самым богатым из них являлся Гурков Матвей Федоров(-вич). Усадьба его включала в себя: дом, два хлебных амбара, две стаи для скота, хлев, овин и баню.

В 1820 году, согласно исповедной росписи прихожан Минусинской церкви Спаса Нерукотворного, в деревне Кривая насчитывалось 8 дворов и 66 человек жителей обоего пола.

Самым крупным из них был двор Гуркова Ивана Матвеева: вместе с ним жили его жена, двое детей, мать и трое женатых братьев (всего 17 человек).

Все эти люди официально состояли в обществе крестьян села Минусинского, а деревня Кривая считалась их самовольно образованной заимкой («несуществующим по ревизии селением»).

Статус заимки Кривая продолжала сохранять и после придания Минусинску статуса города вплоть до середины 1850-х годов. В период проведения последней податной ревизии 1859 года в деревне Кривая насчитывалось около 100 дворов и 607 человек жителей. К 1907 году население ее удвоилось, составив 1259 человек. Через несколько лет в деревне начинается строительство церкви с последующим образование собственного прихода.    

По данным сельскохозяйственной переписи 1917 года в деревне Кривая было 226 дворовых хозяйства (153 старожилов и 73 – переселенцев).

В годы советской власти жизнь в деревне теплилась благодаря совхозу. Но 20 августа 1985 г. в связи с попаданием села Кривинского в зону зимних подтоплений Саяно-Шушенской ГЭС центр села Кривинского перенесён в с. Лугавское и переименован в Лугавский сельсовет.